Đáp án B

Đường thẳng  y = x + m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh

Phương trình  y = 2 x + 1 x - 2 C  có 2 nghiệm phân biệt x 1 ; x 2  thỏa mãn: x 1 < 2 < x 2

Vậy, đường thẳng  y = x + m  cắt đồ thị (C) tại hai điểm thuộc hai nhánh với mọi m ∈ R .

Chọn: D

Phương trình hoành độ giao điểm của (C)  và đường thẳng d:

2 x + 1 x - 1 = x + m ( x ≠ 1 ) ⇔ x 2 + ( m - 3 ) x - m - 1 = 0     ( 1 )

Khi đó  cắt (C)  tại hai điểm phân biệt  A: B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác -1 

⇔ ( m - 3 ) 2 + 4 ( m + 1 ) > 0 1 2 + ( m - 3 ) - m - 1 ≠ 0 ⇔ m 2 - 2 m + 13 > 0 - 1 ≠ 0  luôn đúng

Gọi A( x₁ ; x₁+m) ; B( x₂ ; x₂+m)  trong đó x₁ ; x₂ là nghiệm của (1) , theo Viet ta có 

x 1 + x 2 = 3 - m x 1 x 2 = - m - 1

Gọi I ( x 1 + x 2 2 ; ( x 1 + x 2 + 2 m 2 )   là trung điểm của AB, suy ra I ( 3 - m 2 ; 3 + m 2 )  , nên

C I → ( - 2 - 3 - m 2 ; 5 - 3 + m 2 )  

⇒ C I = 1 2 ( m - 7 ) 2 + ( 7 - m ) 2 .

Mặt khác A B → = ( x 2 - x 1 ;   x 2 - x 1 )

⇒ A B = 2 ( x 2 - x 1 ) 2 = 2 ( m 2 - 2 m + 13 ) 2

Vậy tam giác ABC  đều khi và chỉ khi

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

2 x + 1 x + 1 = x + m - 1 ( x ≠ - 1 ) ⇔ x 2 + ( m - 2 ) x + ( m - 2 ) = 0   ( * )

Đường thẳng d cắt (C)   tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi  phương trình có hai nghiệm phân biệt khác - 1

Khi đó d cắt ( C) tại A( x₁; x₁+ m- 1) ; B ( x₂; x₂+ m- 1)

Áp dụng định lý Vi-et x 1 + x 2 = - m + 2 x 1 x 2 = m - 2   ta có:

Vậy  m = 4 ± 10

Chọn B.

b: Để hai đường thẳng song song thì 2m+1=2

hay m=1/2

Đáp án B

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d:

Khi đó d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B (*)

Gọi G là trọng tâm của tam giác OAB ta có O G → = 2 3 O I ⇀  với I là trung điểm của AB.

Tìm được Do đó,  

Chú ý: Để làm bài này khi thực hiện trắc nghiệm, ta nên tìm đến điều kiện (*), sau đó loại các kết quả và Sau đó, lấy một giá trị nguyên của m để kiểm tra giả thiết bài cho, giả sử với m = -2.

Ta còn lại đáp số của bài toán.